7) \(\frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}\) при \(a=2\), \(b=\sqrt{2}\)

Краткое пояснение:

Для упрощения выражения применим свойства степеней: \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \), \( (xy)^n = x^n y^n \), \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) и \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим числитель. Возведем \( b^5 \) в 4-ю степень: \( (b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20} \).
   Числитель станет: \( a^{23} \cdot b^{20} \).
2. Шаг 2: Упростим знаменатель. Раскроем скобки: \( (a \cdot b)^{20} = a^{20} \cdot b^{20} \).
3. Шаг 3: Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
   \( \frac{a^{23} \cdot b^{20}}{a^{20} \cdot b^{20}} \).
4. Шаг 4: Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ( \(b^{20}\) ).
   \( \frac{a^{23}}{a^{20}} \).
5. Шаг 5: Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
   \( a^{23-20} = a^3 \).
6. Шаг 6: Теперь подставим данные значения \(a=2\) и \(b=\sqrt{2}\) в упрощенное выражение \( a^3 \). (Заметим, что \(b\) не понадобится).
   \( 2^3 \).
7. Шаг 7: Вычислим окончательное значение.
   \( 2^3 = 8 \).

Ответ: 8