7. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 45 км, выехал велосипедист. Через 30 мин вслед за ним выехал второй велосипедист, который прибыл в пункт В на 15 мин раньше первого. Чему равна скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость первого на 3 км/ч меньше скорости второго?

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста, а \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста. Расстояние \( S = 45 \) км.

1. Время в пути первого велосипедиста: \( t_1 = \frac{45}{v_1} \).
2. Время в пути второго велосипедиста: \( t_2 = \frac{45}{v_2} \).
3. Условие о времени: Второй велосипедист выехал через 30 минут (0.5 часа) позже и прибыл на 15 минут (0.25 часа) раньше.
4. Разница во времени движения: \( t_1 - t_2 = 0.5 + 0.25 = 0.75 \) часа.
5. Подставим выражения для времени: \( \frac{45}{v_1} - \frac{45}{v_2} = 0.75 \).
6. Условие о скоростях: \( v_1 = v_2 - 3 \).
7. Подставим \( v_1 \) во второе уравнение: \( \frac{45}{v_2 - 3} - \frac{45}{v_2} = 0.75 \).
8. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{45v_2 - 45(v_2 - 3)}{v_2(v_2 - 3)} = 0.75 \).
9. \( \frac{45v_2 - 45v_2 + 135}{v_2^2 - 3v_2} = 0.75 \).
10. \( \frac{135}{v_2^2 - 3v_2} = 0.75 \).
11. \( 135 = 0.75(v_2^2 - 3v_2) \).
12. \( 135 = \frac{3}{4}(v_2^2 - 3v_2) \).
13. \( 135 \cdot \frac{4}{3} = v_2^2 - 3v_2 \).
14. \( 180 = v_2^2 - 3v_2 \).
15. \( v_2^2 - 3v_2 - 180 = 0 \).
16. Найдем корни квадратного уравнения для \( v_2 \). Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729 \). \( \sqrt{D} = 27 \).
17. \( v_2 = \frac{3 \pm 27}{2} \).
18. \( v_{2,1} = \frac{3 + 27}{2} = 15 \).
19. \( v_{2,2} = \frac{3 - 27}{2} = -12 \) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).
20. Итак, скорость второго велосипедиста \( v_2 = 15 \) км/ч.
21. Найдем скорость первого велосипедиста: \( v_1 = v_2 - 3 = 15 - 3 = 12 \) км/ч.

Ответ: Скорость первого велосипедиста — 12 км/ч, скорость второго велосипедиста — 15 км/ч.