7. ∠K : ∠L : ∠M = 4 : 2 : 3. Найдите x, y. В треугольнике LMK: LM = 16, MK = x, LK = y.

Сумма частей отношения равна 9, поэтому одна часть составляет \(180°/9=20°\). Следовательно, \(\angle K=80°\), \(\angle L=40°\), \(\angle M=60°\). Исправление по сумме: углы соответствуют частям 4, 2 и 3, то есть \(\angle K=80°\), \(\angle L=40°\), \(\angle M=60°\).

Сторона LM = 16 лежит напротив угла K. По теореме синусов \(\dfrac{x}{\sin 40°}=\dfrac{16}{\sin 80°}\), значит \(x=\dfrac{16\sin 40°}{\sin 80°}\).

Для y: \(\dfrac{y}{\sin 60°}=\dfrac{16}{\sin 80°}\), поэтому \(y=\dfrac{8\sqrt3}{\sin 80°}\).

Ответ: \(x=\dfrac{16\sin 40°}{\sin 80°}\), \(y=\dfrac{8\sqrt3}{\sin 80°}\).