7. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние равн скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 часа.

Решение:

Обозначим:

• \( v_к \) — собственная скорость катера, \( v_к = 8 \) км/ч.
• \( v_р \) — скорость течения реки (неизвестна).
• \( S \) — расстояние, которое прошел катер (неизвестно, но предполагается, что оно было пройдено туда и обратно, поэтому \( S_{туда} = S_{обратно} \) ).
• \( t \) — общее время в пути, \( t = 4 \) часа.

Скорость катера по течению: \( v_{по} = v_к + v_р = 8 + v_р \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( v_пр = v_к - v_р = 8 - v_р \) км/ч.

Время в пути туда: \( t_{туда} = \frac{S}{8+v_р} \).

Время в пути обратно: \( t_{обратно} = \frac{S}{8-v_р} \).

Общее время: \( t_{туда} + t_{обратно} = 4 \) часа.

\( \frac{S}{8+v_р} + \frac{S}{8-v_р} = 4 \)

Вынесем \( S \) за скобки:

\( S \left( \frac{1}{8+v_р} + \frac{1}{8-v_р} \right) = 4 \)

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \( (8+v_р)(8-v_р) = 64 - v_р^2 \):

\( S \left( \frac{(8-v_р) + (8+v_р)}{(8+v_р)(8-v_р)} \right) = 4 \)

\( S \left( \frac{16}{64 - v_р^2} \right) = 4 \)

\( \frac{16S}{64 - v_р^2} = 4 \)

\( 16S = 4(64 - v_р^2) \)

\( 4S = 64 - v_р^2 \)

\( v_р^2 = 64 - 4S \)

\( v_р = \sqrt{64 - 4S} \)

К сожалению, задача не даёт информации о пройденном расстоянии \( S \), чтобы однозначно определить скорость течения реки \( v_р \). Возможно, в условии пропущено расстояние или предполагается, что катер прошел какое-то стандартное расстояние (например, 1 км туда и 1 км обратно). Без этой информации решить задачу невозможно.

Ответ: Недостаточно данных для решения.