7. На 99 карточках пишутся числа 1, 2, 3, …, 99. Затем карточки перемешиваются, раскладываются чистыми сторонами вверх и на чистых сторонах снова пишутся числа 1, 2, 3, 4, …, 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Докажите, что в результате получится чётное число.

На каждой стороне карточек записаны числа от 1 до 99: среди них 50 нечётных и 49 чётных.

Предположим, что все 99 сумм на карточках нечётны. Тогда на каждой карточке числа с двух сторон должны быть разной чётности. Но 50 карточек с нечётным числом на первой стороне должны были бы сочетаться с 50 карточками с чётным числом на второй стороне, а таких карточек только 49. Противоречие.

Значит, хотя бы одна из сумм чётна. В произведении этих 99 сумм есть чётный множитель, поэтому всё произведение чётно.

Что и требовалось доказать.