7) На хлебозаводе выпекают пирожки номинальной массой 100 г. Известно, что с вероятностью 0,93 пирожок будет весить меньше, чем 105 г, и с вероятностью 0,89 пирожок будет весить больше, чем 95 г. Найдите вероятность того, что масса случайно выбранного пирожка больше, чем 95 г, но меньше, чем 105 г.

Решение:

Пусть событие $$A$$ — пирожок весит меньше 105 г. Тогда $$P(A) = 0.93$$.

Пусть событие $$B$$ — пирожок весит больше 95 г. Тогда $$P(B) = 0.89$$.

Мы хотим найти вероятность того, что масса пирожка находится в диапазоне (95 г, 105 г). Это означает, что должно произойти как событие $$A$$ (вес < 105 г), так и событие $$B$$ (вес > 95 г). Нам нужно найти вероятность пересечения этих событий $$P(A \cap B)$$.

Важно понимать, что эти события не обязательно независимы. Однако, нам дана информация о вероятностях наступления каждого из условий. Обычно в таких задачах подразумевается, что эти события связаны с отклонениями от номинальной массы, и можно использовать формулу для вероятности объединения событий, но в данном случае нам нужна именно вероятность пересечения, и информация дана в таком виде, что мы можем предположить, что эти события происходят одновременно.

В задачах такого типа, где даны вероятности событий, которые являются частью более широкого диапазона, и требуется найти вероятность попадания в этот диапазон, часто предполагается, что эти события «накладываются» друг на друга.

Рассмотрим другую формулу: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$.

Однако, в данном контексте, нам нужно найти вероятность того, что пирожок попадает в интервал (95, 105). Это означает, что пирожок должен удовлетворять обоим условиям: весить больше 95 г И весить меньше 105 г.

Если бы события были независимы, то $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$. Но у нас нет гарантии независимости.

Давайте переформулируем: $$A$$ = {вес < 105 г}, $$B$$ = {вес > 95 г}. Мы ищем $$P(A \cap B)$$.

Из условия $$P(A) = 0.93$$, это значит, что вероятность того, что пирожок весит 105 г или больше, равна $$1 - 0.93 = 0.07$$.

Из условия $$P(B) = 0.89$$, это значит, что вероятность того, что пирожок весит 95 г или меньше, равна $$1 - 0.89 = 0.11$$.

Мы хотим найти $$P(\text{95 г} < \text{вес} < \text{105 г})$$.

Событие "вес < 105 г" включает в себя "95 г < вес < 105 г" и "вес $$\le$$ 95 г".

Событие "вес > 95 г" включает в себя "95 г < вес < 105 г" и "вес $$\ge$$ 105 г".

Представим это на числовой оси. Нам даны:

• $$P(\text{вес} < 105) = 0.93$$
• $$P(\text{вес} > 95) = 0.89$$

Мы ищем $$P(\text{95} < \text{вес} < 105)$$.

Пусть $$X$$ - масса пирожка.

$$P(X < 105) = 0.93$$. Значит, $$P(X ≥ 105) = 1 - 0.93 = 0.07$$.

$$P(X > 95) = 0.89$$. Значит, $$P(X ≤ 95) = 1 - 0.89 = 0.11$$.

Мы ищем $$P(95 < X < 105)$$.

Воспользуемся свойством вероятности:

$$P(X < 105) = P(X < 95) + P(95 ≤ X < 105)$$

$$0.93 = P(X < 95) + P(95 ≤ X < 105)$$.

Мы знаем $$P(X ≤ 95) = 0.11$$. Предположим, что вероятность того, что пирожок весит ровно 95 г, очень мала (или равна 0, если масса является непрерывной случайной величиной).

Тогда $$P(X < 95) ≈ P(X ≤ 95) = 0.11$$.

Подставляем в уравнение:

$$0.93 = 0.11 + P(95 < X < 105)$$ (приближенно, если $$P(X=95)=0$$)

$$P(95 < X < 105) = 0.93 - 0.11 = 0.82$$.

Проверим с другой стороны:

$$P(X > 95) = P(95 < X < 105) + P(X ≥ 105)$$

$$0.89 = P(95 < X < 105) + 0.07$$

$$P(95 < X < 105) = 0.89 - 0.07 = 0.82$$.

Оба подхода дают одинаковый результат, что подтверждает правильность рассуждений.

Ответ: 0.82