№ 7. Найдите $\displaystyle \lim_{n\to1}\left(\frac{1}{1-n}-\frac{3}{1-n^3}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 7. Найдите $\displaystyle \lim_{n\to1}\left(\frac{1}{1-n}-\frac{3}{1-n^3}\right)$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим разность кубов и приведём выражение к общему знаменателю:

\[\frac{1}{1-n}-\frac{3}{1-n^3}=\frac{1+n+n^2-3}{(1-n)(1+n+n^2)}.\]

В числителе $1+n+n^2-3=n^2+n-2=(n+2)(n-1)$, а $1-n=-(n-1)$. Сократим:

\[\lim_{n\to1}-\frac{n+2}{1+n+n^2}=-\frac{3}{3}=-1.\]

Ответ: $-1$.

№ 7. Найдите \(\displaystyle \lim_{n\to1}\left(\frac{1}{1-n}-\frac{3}{1-n^3}\right)\).