№ 8. Найдите \(\displaystyle \lim_{n\to2}\frac{\sqrt{n^2+5}-3}{n-2}\).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

\[\frac{\sqrt{n^2+5}-3}{n-2}\cdot\frac{\sqrt{n^2+5}+3}{\sqrt{n^2+5}+3}=\frac{n^2-4}{(n-2)(\sqrt{n^2+5}+3)}.\]

Разложим разность квадратов и сократим на \(n-2\):

\[\lim_{n\to2}\frac{n+2}{\sqrt{n^2+5}+3}=\frac{4}{6}=\frac23.\]

Ответ: \(\frac23\).