7. Найдите корень уравнения: log₂(x - 6) = 0,5 log₂x

Решение:

1. Приведем уравнение к виду \( \log_2(x-6) = \log_2(x^{0.5}) \).
2. Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов: \( x - 6 = x^{0.5} \).
3. Перепишем \( x^{0.5} \) как \( \sqrt{x} \): \( x - 6 = \sqrt{x} \).
4. Для удобства заменим \( \sqrt{x} \) на \( t \) (при этом \( t \ge 0 \) и \( x = t^2 \)).
5. Уравнение примет вид: \( t^2 - 6 = t \).
6. Перенесем все в одну сторону: \( t^2 - t - 6 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение: \( (t-3)(t+2) = 0 \).
8. Возможные значения \( t \): \( t = 3 \) или \( t = -2 \).
9. Так как \( t \ge 0 \), подходит только \( t = 3 \).
10. Вернемся к замене: \( \sqrt{x} = 3 \).
11. Возведем обе части в квадрат: \( x = 9 \).
12. Проверим ОДЗ: \( x-6 > 0 \) ⇒ \( x > 6 \). \( x > 0 \). \( 9 > 6 \) и \( 9 > 0 \), значит, корень подходит.

Ответ: 9