7. Отрезок BD — высота треугольника ABC, изображенного на рисунке, AB = 2√3 см, BC = 3√5 см. Какова длина отрезка CD?

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABD:

\( ∠ A = 60° \), \( ∠ ADB = 90° \). Следовательно, \( ∠ ABD = 180° - 90° - 60° = 30° \).

В прямоугольном треугольнике ABD, \( AB = 2√{3} \) см — гипотенуза.

Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы:

\( AD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 2√{3} \text{ см} = √{3} \text{ см} \).

Катет BD (высота) равен \( AD \times \tan(60°) \) или \( \frac{AB \times √{3}}{2} \):

\( BD = AB \times \frac{√{3}}{2} = 2√{3} \times \frac{√{3}}{2} = √{3} \times √{3} = 3 \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC:

\( ∠ BDC = 90° \), \( BD = 3 \) см, \( BC = 3√{5} \) см.

По теореме Пифагора для треугольника BDC:

\( BC^2 = BD^2 + CD^2 \)

\( (3√{5})^2 = 3^2 + CD^2 \)

\( 9 \times 5 = 9 + CD^2 \)

\( 45 = 9 + CD^2 \)

\( CD^2 = 45 - 9 \)

\( CD^2 = 36 \)

\( CD = √{36} = 6 \) см.

Ответ: 6 см.