8. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 38 см, а диагональ делит ее острый угол пополам. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \( a = 15 \) см и \( b = 38 \) см. Пусть диагональ AC делит угол BAD пополам. Так как трапеция равнобокая, то AB = CD. Углы при основании равны, т.е. \( D = B \) и \( A = C \).

Так как \( AD \parallel BC \) и AC - секущая, то \( CAD = ACB \) (накрест лежащие углы).

По условию, \( BAC = CAD \). Следовательно, \( BAC = ACB \). Это означает, что треугольник ABC равнобедренный, и AB = BC. Но BC является боковой стороной, а так как трапеция равнобокая, то AB = CD. Следовательно, все боковые стороны равны меньшему основанию: \( AB = CD = 15 \) см.

Теперь нам нужно найти высоту трапеции. Опустим высоту из вершины A на основание BC (или из D на BC). Проведем высоту из A на BC. Пусть это будет AH. Также проведем высоту из D на BC. Пусть это будет DE. Тогда AHED - прямоугольник. AD = HE = 15 см.

Проведем высоту из B на AD. Пусть это будет BK. Тогда AK = (38 - 15) / 2 = 23 / 2 = 11.5 см. В прямоугольном треугольнике ABK, AB = 15 см, AK = 11.5 см. Найдем высоту BK:

\( BK^2 = AB^2 - AK^2 = 15^2 - 11.5^2 = 225 - 132.25 = 92.75 \)

\( BK = √92.75 \approx 9.63 \) см.

Площадь трапеции:

\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{15 + 38}{2} \cdot √92.75 = \frac{53}{2} \cdot √92.75 \approx 26.5 \cdot 9.63 \approx 255.295 \) см².

Ответ: ≈ 255.3 см².