7. Постройте в одной системе координат графики функций y = √x и y = x/3 и найдите координаты их общих точек.

Решение:

Чтобы найти общие точки графиков функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = \frac{x}{3} \), нужно приравнять их правые части и решить полученное уравнение:

\[ \sqrt{x} = \frac{x}{3} \]

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ (\sqrt{x})^2 = (\frac{x}{3})^2 \]

\[ x = \frac{x^2}{9} \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\[ \frac{x^2}{9} - x = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x (\frac{x}{9} - 1) = 0 \]

Это уравнение имеет два решения:

1. \( x = 0 \)
2. \( \frac{x}{9} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} = 1 \Rightarrow x = 9 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \) для каждой из найденных точек, подставив \( x \) в любое из исходных уравнений (например, \( y = \frac{x}{3} \)):

• При \( x = 0 \): \( y = \frac{0}{3} = 0 \). Первая общая точка — (0; 0).
• При \( x = 9 \): \( y = \frac{9}{3} = 3 \). Вторая общая точка — (9; 3).

Ответ: Общие точки имеют координаты (0; 0) и (9; 3).