8. В одной системе координат постройте графики функций y = |x| и y = -x/2 + 3 и найдите координаты их общих точек.

Решение:

Чтобы найти общие точки графиков функций \( y = |x| \) и \( y = -\frac{x}{2} + 3 \), нужно решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = |x| \\ y = -\frac{x}{2} + 3 \end{cases} \]

Рассмотрим два случая для \( |x| \):

Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \).

Приравниваем правые части уравнений:

\[ x = -\frac{x}{2} + 3 \]

Приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{2x}{2} = -\frac{x}{2} + \frac{6}{2} \]

\[ 2x = -x + 6 \]

\[ 3x = 6 \]

\[ x = 2 \]

Проверяем условие \( x \ge 0 \). \( 2 \ge 0 \), условие выполняется.

Находим \( y \): \( y = |2| = 2 \) или \( y = -\frac{2}{2} + 3 = -1 + 3 = 2 \).

Первая общая точка: (2; 2).

Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \).

Приравниваем правые части уравнений:

\[ -x = -\frac{x}{2} + 3 \]

Приводим к общему знаменателю:

\[ -\frac{2x}{2} = -\frac{x}{2} + \frac{6}{2} \]

\[ -2x = -x + 6 \]

\[ -x = 6 \]

\[ x = -6 \]

Проверяем условие \( x < 0 \). \( -6 < 0 \), условие выполняется.

Находим \( y \): \( y = |-6| = 6 \) или \( y = -\frac{-6}{2} + 3 = 3 + 3 = 6 \).

Вторая общая точка: (-6; 6).

Ответ: Общие точки имеют координаты (2; 2) и (-6; 6).