7. При каких значениях параметра \(c\) корни квадратного уравнения \(x^2+(4c^2-4c+1)x-1=0\) являются противоположными числами?

Если корни противоположны, их сумма равна нулю. По теореме Виета сумма корней равна \(-(4c^2-4c+1)\), значит, требуется \(4c^2-4c+1=0\).

Получаем \((2c-1)^2=0\), откуда \(c=\frac12\). При этом уравнение становится \(x^2-1=0\), его корни \(1\) и \(-1\) действительно противоположны.

Ответ: \(c=\frac12\).