7. Расстояние между двумя пунктами по реке равно 80 км. По течению реки лодка проплывает это расстояние за 5 ч, а против течения реки — за 8 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения.

Решение:

Пусть \( v_л \) — собственная скорость лодки (км/ч), а \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v_л + v_т \) (км/ч).

Скорость лодки против течения: \( v_л - v_т \) (км/ч).

Расстояние равно 80 км.

Время движения по течению: 5 ч.

Время движения против течения: 8 ч.

Составим систему уравнений, используя формулу \( \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \):

1. По течению: \( (v_л + v_т) \times 5 = 80 \)
2. Против течения: \( (v_л - v_т) \times 8 = 80 \)

Упростим уравнения:

1. \( v_л + v_т = \frac{80}{5} = 16 \)
2. \( v_л - v_т = \frac{80}{8} = 10 \)

Теперь решим полученную систему методом сложения. Сложим оба уравнения:

\[ (v_л + v_т) + (v_л - v_т) = 16 + 10 \]

\[ 2v_л = 26 \]

\[ v_л = \frac{26}{2} = 13 \]

Подставим значение \( v_л \) в первое уравнение, чтобы найти \( v_т \):

\[ 13 + v_т = 16 \]

\[ v_т = 16 - 13 = 3 \]

Ответ: Собственная скорость лодки — 13 км/ч, скорость течения — 3 км/ч.