7. Решите уравнение: а) 6^(x + 3) + 6ˣ = 217; б) 81ˣ − 7 · 9ˣ − 18 = 0; в) (5^(x + 1))^(x + 3) = 0,04ˣ · 125^(x + 6).

а) Вынесем \(6^x\) за скобки: \(6^x(6^3+1)=217\), то есть \(217\cdot6^x=217\). Поэтому \(6^x=1\), откуда \(x=0\).

б) Обозначим \(t=9^x\), где \(t>0\). Тогда \(81^x=(9^x)^2=t^2\), и уравнение принимает вид \(t^2-7t-18=0\). Разложим: \((t-9)(t+2)=0\). С учётом \(t>0\) получаем \(t=9\), то есть \(9^x=9\), откуда \(x=1\).

в) Представим обе части как степени числа 5: \((5^{x+1})^{x+3}=5^{(x+1)(x+3)}\), а \(0.04^x\cdot125^{x+6}=5^{-2x}\cdot5^{3x+18}=5^{x+18}\). Приравняем показатели: \((x+1)(x+3)=x+18\). Получаем \(x^2+3x-15=0\). По формуле корней квадратного уравнения \(x=\frac{-3\pm\sqrt{69}}2\).

Ответ: а) 0; б) 1; в) \(\frac{-3-\sqrt{69}}2\) и \(\frac{-3+\sqrt{69}}2\).