7. Рёбра тетраэдра равны 37. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырёх его рёбер.

Середины четырёх рёбер образуют сечение, являющееся параллелограммом: каждая его сторона — средняя линия соответствующей грани и равна половине ребра тетраэдра. Так как тетраэдр правильный, сечение — ромб со стороной \(37/2\) и углом 60°.

\(S=\left(\frac{37}{2}\right)^2\sin60^\circ=\frac{1369}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1369\sqrt3}{8}\).

Ответ: \(\frac{1369\sqrt3}{8}\).