7. Тип 2 № 27711 i Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов \( \vec{AO} \) и \( \vec{DO} \).

Решение:

В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD равны и точкой пересечения О делятся пополам. Следовательно, \( |\vec{AO}| = |\vec{CO}| = |\vec{BO}| = |\vec{DO}| \).

Длина диагонали AC (или BD) находится по теореме Пифагора: \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \).

Тогда \( |\vec{AO}| = |\vec{DO}| = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \).

Вектор \( \vec{AO} \) направлен от A к O, а вектор \( \vec{DO} \) направлен от D к O. Рассмотрим треугольник ADO. Стороны AO и DO равны 5. Сторона AD равна 8.

Найдем длину суммы векторов \( \vec{AO} + \vec{DO} \). Используем правило сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма.

Вектор \( \vec{AO} + \vec{DO} \) можно представить как вектор, идущий из точки D в точку O, а затем из точки O в точку A. Это эквивалентно вектору \( \vec{DA} \) только если сложение идет \( \vec{DO} + \vec{OA} \).

Рассмотрим векторы относительно точки O. Если O — начало координат, то \( \vec{AO} = -\vec{OA} \) и \( \vec{DO} = -\vec{OD} \).

\( \vec{AO} + \vec{DO} \). Вектор \( \vec{AO} \) и вектор \( \vec{DO} \) направлены к точке пересечения диагоналей.

Рассмотрим треугольник ADO. Стороны \( AO = DO = 5 \) и \( AD = 8 \).

Нам нужно найти длину вектора \( \vec{AO} + \vec{DO} \).

Вектор \( \vec{DO} \) равен вектору \( \vec{CA}/2 \) и имеет такое же направление, что и \( \vec{BD}/2 \).

Вектор \( \vec{AO} \) и \( \vec{DO} \) сходятся в точке O. Чтобы их сложить, нужно перенести один из векторов. Перенесем вектор \( \vec{DO} \) так, чтобы его начало совпадало с концом вектора \( \vec{AO} \), то есть в точку O. Тогда его конец окажется в точке, соответствующей \( \vec{AO} + \vec{DO} \).

Альтернативный подход: \( \vec{AO} + \vec{DO} = \vec{AO} - \vec{OD} \).

Рассмотрим векторы \( \vec{AO} \) и \( \vec{DO} \). Они образуют два смежных угла. Угол \( \angle AOD \) в треугольнике AOD. Стороны AO=5, DO=5, AD=8.

Используем теорему косинусов для нахождения \( \angle AOD \):

\[ AD^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos(\angle AOD) \]

\[ 8^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(\angle AOD) \]

\[ 64 = 25 + 25 - 50 \cdot \cos(\angle AOD) \]

\[ 64 = 50 - 50 \cdot \cos(\angle AOD) \]

\[ 14 = -50 \cdot \cos(\angle AOD) \]

\[ \cos(\angle AOD) = -\frac{14}{50} = -0.28 \]

Теперь найдем длину суммы векторов \( \vec{AO} + \vec{DO} \). Это вектор, который является диагональю параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{AO} \) и \( \vec{DO} \).

Длина диагонали \( d_1 \) параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), равна \( |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)} \), где \( \alpha \) — угол между \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

У нас \( \vec{a} = \vec{AO} \) и \( \vec{b} = \vec{DO} \). Угол между \( \vec{AO} \) и \( \vec{DO} \) — это угол \( \angle AOD \).

\( |\vec{AO} + \vec{DO}| = \sqrt{|\vec{AO}|^2 + |\vec{DO}|^2 + 2|\vec{AO}| |\vec{DO}| \cos(\angle AOD)} \)

\[ |\vec{AO} + \vec{DO}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot (-0.28)} \]

\[ |\vec{AO} + \vec{DO}| = \sqrt{25 + 25 + 50 \cdot (-0.28)} \]

\[ |\vec{AO} + \vec{DO}| = \sqrt{50 - 14} = \sqrt{36} = 6 \]

Ответ: 6