7. Упростите выражение \(\left(\frac{2}{x^{1/4}-y^{1/4}}+\frac{2}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\cdot\frac{x^{-1/2}-y^{-1/2}}{6x^{-1/4}y^{-1/2}}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Обозначим \(X=x^{1/4}\), \(Y=y^{1/4}\). Сначала сложим дроби в скобках:

\(\frac{2}{X-Y}+\frac{2}{X+Y}=\frac{2(X+Y)+2(X-Y)}{(X-Y)(X+Y)}=\frac{4X}{X^2-Y^2}.\)

Во второй дроби \(x^{-1/2}=X^{-2}\), \(y^{-1/2}=Y^{-2}\), а знаменатель равен \(6X^{-1}Y^{-2}\). Поэтому

\(\frac{X^{-2}-Y^{-2}}{6X^{-1}Y^{-2}}=\frac{(Y^2-X^2)/(X^2Y^2)}{6/(XY^2)}=\frac{Y^2-X^2}{6X}.\)

Перемножим полученные выражения и сократим:

\(\frac{4X}{X^2-Y^2}\cdot\frac{Y^2-X^2}{6X}=-\frac{2}{3}.\)

Ответ: \(-\frac{2}{3}\).