7. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что углы CC1B1 и CBВ1 равны.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырёхугольник $$BCC_1B_1$$.
2. Углы $$\angle BC_1C$$ и $$\angle BB_1C$$ являются прямыми ($$90^{\circ}$$), так как $$CC_1$$ и $$BB_1$$ — высоты.
3. Сумма углов четырёхугольника равна $$360^{\circ}$$.
4. В четырёхугольнике $$BCC_1B_1$$ углы $$\angle C$$ и $$\angle B$$ являются углами треугольника ABC.
5. Сумма углов $$BCC_1B_1$$ равна $$\angle C + \angle B + \angle BC_1B_1 + \angle BB_1C$$.
6. Так как $$CC_1 \perp AB$$ и $$BB_1 \perp AC$$, то $$\angle AC_1C = 90^{\circ}$$ и $$\angle AB_1B = 90^{\circ}$$.
7. Рассмотрим четырёхугольник $$AB_1C_1B$$. Углы $$\angle AB_1C_1 = 90^{\circ}$$ и $$\angle AC_1B = 90^{\circ}$$.
8. Сумма противоположных углов $$\angle AB_1C_1 + \angle AC_1B = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$$.
9. Следовательно, четырёхугольник $$AB_1C_1B$$ вписан в окружность с диаметром AB.
10. В этой окружности углы $$\angle AC_1B_1$$ и $$\angle AB_1C_1$$ являются вписанными углами, опирающимися на дугу $$AB_1$$.
11. Углы $$\angle CC_1B_1$$ и $$\angle BB_1C_1$$ являются углами, опирающимися на дугу $$B_1C_1$$ окружности, проходящей через точки $$A, B_1, C_1, B$$.
12. Рассмотрим четырёхугольник $$BCC_1B_1$$. Углы $$\angle BC_1C = 90^{\circ}$$ и $$\angle BB_1C = 90^{\circ}$$.
13. Следовательно, точки $$B, C, C_1, B_1$$ лежат на окружности с диаметром BC.
14. В этой окружности углы $$\angle CC_1B_1$$ и $$\angle CB B_1$$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $$C_1B_1$$.
15. Равные вписанные углы опираются на равные дуги.
16. Следовательно, $$\angle CC_1B_1 = \angle CB B_1$$.

Что и требовалось доказать.