8. Медиана BM треугольника ABC равна 3 и является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите диаметр описанной окружности треугольника ABC.

Дано:

• BM — медиана треугольника ABC.
• BM = 3.
• BM — диаметр окружности, проходящей через середину BC.

Найти: Диаметр описанной окружности треугольника ABC.

Решение:

1. Пусть O — середина отрезка BM. Так как BM является диаметром окружности, O — центр этой окружности, и радиус равен $$R_{окр} = \frac{BM}{2} = \frac{3}{2}$$.
2. Пусть K — середина стороны BC. По условию, точка K лежит на окружности с центром O.
3. $$OK = R_{окр} = \frac{3}{2}$$.
4. В треугольнике BCM, OK — средняя линия, так как O — середина BM, а K — середина BC.
5. Средняя линия параллельна основанию и равна его половине: $$OK = \frac{1}{2} MC$$.
6. $$MC = 2 imes OK = 2 imes \frac{3}{2} = 3$$.
7. Так как BM — медиана, то $$MC = AM = MB = 3$$.
8. Значит, $$BC = BM = MC = 3$$.
9. Треугольник ABC имеет медиану BM, равную половине стороны AC ($$BM = \frac{1}{2} AC$$).
10. Это свойство верно только для прямоугольных треугольников, где медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
11. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом $$\angle B = 90^{\circ}$$.
12. Гипотенуза AC равна $$2 imes BM = 2 imes 3 = 6$$.
13. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
14. Диаметр описанной окружности равен длине гипотенузы.
15. Диаметр описанной окружности треугольника ABC равен AC = 6.

Ответ: 6