7. В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы. Перпендикуляр к AB через M касается вписанной окружности. Найдите острые углы треугольника.

Пусть \(AB=c\), \(AC=b\), \(BC=a\), причём \(\angle A=90^\circ\). Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:

\[r=\frac{b+c-a}{2}.\]

Поскольку \(M\) — середина гипотенузы, расстояние от центра вписанной окружности до перпендикуляра через \(M\) равно радиусу. Из условия касания получаем \(c=4r\). Поэтому

\[c=2(b+c-a),\qquad 2a=2b+c.\]

Совместно с теоремой Пифагора \(a^2=b^2+c^2\) получаем соотношение сторон

\[a:b:c=5:3:4.\]

Следовательно, треугольник является прямоугольным треугольником со сторонами 3, 4 и 5. Его острые углы приблизительно равны \(37^\circ\) и \(53^\circ\).

Ответ: \(37^\circ\) и \(53^\circ\).