7. В равнобедренном треугольнике АВС (основание АС) боковая сторона равна 17см, а высота АК равна 8см. Найдите длины средних линий данного треугольника.

Дано:

• Равнобедренный треугольник АВС
• Основание: АС
• Боковая сторона: \(AB = BC = 17\) см
• Высота: \(AK = 8\) см (высота, проведенная к стороне BC)

Найти: длины средних линий

Решение:

1. Сначала найдем длину основания АС. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВК. Катет ВК = 8 см, гипотенуза АВ = 17 см.

2. По теореме Пифагора найдем катет АК (половина основания АС):

   \[ BK^2 + AK^2 = AB^2 \]

   \[ BK^2 + 8^2 = 17^2 \]

   \[ BK^2 + 64 = 289 \]

   \[ BK^2 = 289 - 64 \]

   \[ BK^2 = 225 \]

   \[ BK = \sqrt{225} \]

   \[ BK = 15 \] см.

3. Поскольку ВК — половина основания АС, то АС = \(2 \times BK = 2 \times 15 = 30\) см.

4. Теперь найдем длины средних линий. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине длины этой стороны.

5. Средняя линия, параллельная основанию АС, соединяет середины сторон АВ и ВС. Её длина равна половине основания:

   \[ m_{AC} = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] см.

6. Средняя линия, параллельная боковой стороне АВ, соединяет середины сторон АС и ВС. Её длина равна половине боковой стороны АВ:

   \[ m_{AB} = \frac{AB}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \] см.

7. Средняя линия, параллельная боковой стороне ВС, соединяет середины сторон АС и АВ. Её длина равна половине боковой стороны ВС:

   \[ m_{BC} = \frac{BC}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \] см.

Ответ: 15 см, 8.5 см, 8.5 см.