7. В треугольнике \(ABC\) точки \(E\in AC\) и \(F\in BC\); \(AE=6\), \(EC=2{,}5\), \(BF=3\), \(FC=2\). Отрезки \(AF\) и \(BE\) пересекаются в \(K\). Найти: \(AK:KF\).

Введём барицентрические координаты относительно треугольника \(ABC\). Для точки \(F\): \(BF:FC=3:2\), поэтому её координаты пропорциональны \((0:2:3)\). Для точки \(E\): \(AE:EC=6:2{,}5=12:5\), поэтому координаты пропорциональны \((5:0:12)\).

Точка на \(AF\) имеет координаты, пропорциональные \((1-t:2t:3t)\). Точка на \(BE\) должна удовлетворять отношению координат при \(A\) и \(C\), равному \(5:12\). Следовательно, \(\dfrac{1-t}{3t}=\dfrac{5}{12}\), откуда \(t=\dfrac{4}{9}\).

Значит, \(AK:KF=t:(1-t)=4:5\).

Ответ: \(4:5\).