8. Дано: $ABCD$ — параллелограмм; $E$ и $F$ — середины $BC$ и $AD$. Прямые $AE$ и $BD$ пересекаются в $M$, прямые $FC$ и $BD$ — в $N$. Доказать: $BM=MN=ND$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. Дано: $ABCD$ — параллелограмм; $E$ и $F$ — середины $BC$ и $AD$. Прямые $AE$ и $BD$ пересекаются в $M$,…$ Фото задания

8. Дано: $ABCD$ — параллелограмм; $E$ и $F$ — середины $BC$ и $AD$. Прямые $AE$ и $BD$ пересекаются в $M$, прямые $FC$ и $BD$ — в $N$. Доказать: $BM=MN=ND$.

Accepted Answer

Пусть $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $D=(0,1)$, тогда $C=(1,1)$. Так как $E$ и $F$ — середины сторон, $E=(1, frac12)$, $F=(0, frac12)$.

Диагональ $BD$ задаётся точками $(1-t,t)$. Пересечение с $AE$ соответствует $t= frac13$, значит $BM= frac13BD$. Пересечение с $FC$ соответствует $t= frac23$, значит $BN= frac23BD$.

Поэтому $MN=BN-BM= frac13BD$, а $ND=BD-BN= frac13BD$. Следовательно, все три отрезка равны.

Доказано: $BM=MN=ND$.

8. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(E\) и \(F\) — середины \(BC\) и \(AD\). Прямые \(AE\) и \(BD\) пересекаются в \(M\), прямые \(FC\) и \(BD\) — в \(N\). Доказать: \(BM=MN=ND\).

Ответ: