7. В треугольнике АВС известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 89. Найдите площадь треугольника АВС.

Задание 7. Площадь треугольника

Дано:

• \( DE \) — средняя линия треугольника \( ABC \).
• Площадь треугольника \( CDE \) равна 89.

Найти: Площадь треугольника \( ABC \).

Решение:

1. Средняя линия \( DE \) параллельна стороне \( AB \) и равна ее половине: \( DE = \frac{1}{2} AB \).
2. Треугольник \( CDE \) подобен треугольнику \( CAB \) по двум углам (угол \( C \) общий, \( ∠ CDE = ∠ CAB \) как соответственные при \( DE ∥ AB \) и секущей \( AC \)).
3. Коэффициент подобия \( k = \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \).
4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 = \big(\frac{1}{2}\big)^2 = \frac{1}{4} \].
5. Следовательно, площадь треугольника \( ABC \) в 4 раза больше площади треугольника \( CDE \): \[ S_{ABC} = 4 \times S_{CDE} \].
6. Подставляем значение площади \( CDE \): \[ S_{ABC} = 4 \times 89 = 356 \].

Ответ: 356