9. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 18°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Задание 9. Угол касательных

Дано:

• Касательные к окружности в точках \( A \) и \( B \) пересекаются под углом \( 18^\circ \).
• \( OA \) и \( OB \) — радиусы.

Найти: Угол \( ABO \).

Решение:

1. Пусть точка пересечения касательных — \( C \). Тогда \( ∠ ACB = 18^\circ \).
2. Рассмотрим четырехугольник \( OACB \). Углы \( OAC \) и \( OBC \) равны \( 90^\circ \), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
3. Сумма углов в четырехугольнике равна \( 360^\circ \). Поэтому \( ∠ AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 18^\circ = 162^\circ \).
4. Рассмотрим треугольник \( OAB \). \( OA = OB \) (радиусы), следовательно, треугольник \( OAB \) — равнобедренный.
5. Углы при основании \( AB \) равны: \( ∠ OAB = ∠ OBA \).
6. Сумма углов в треугольнике \( OAB \) равна \( 180^\circ \): \( ∠ AOB + ∠ OAB + ∠ OBA = 180^\circ \).
7. Подставим значение \( ∠ AOB \): \( 162^\circ + 2 ∠ OBA = 180^\circ \).
8. \( 2 ∠ OBA = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ \).
9. \( ∠ OBA = \frac{18^\circ}{2} = 9^\circ \).

Ответ: 9