7. В угол С величиной 165° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник \( CAOB \).

Так как окружность вписана в угол и касается его сторон в точках \( A \) и \( B \), то \( OA \) и \( OB \) — радиусы, проведённые в точки касания. Следовательно, \( OA \perp AC \) и \( OB \perp BC \).

Это означает, что углы \( \angle OAC \) и \( \angle OBC \) равны \( 90° \).

Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360° \). Поэтому:

\( \angle ACB + \angle CAO + \angle AOB + \angle OBC = 360° \)

Из условия известно, что \( \angle ACB = 165° \).

\( 165° + 90° + \angle AOB + 90° = 360° \)

\( 345° + \angle AOB = 360° \)

\( \angle AOB = 360° - 345° \)

\( \angle AOB = 15° \)

Ответ: 15°