7. За первую неделю отремонтировали 3/7 дороги, за вторую — 40 % остатка, а за третью — остальные 14,4 км. Сколько километров дороги отремонтировали за три недели?

Привет! Давай посчитаем, сколько всего километров дороги отремонтировали.

Шаг 1: Найдем, какая часть дороги осталась после первой недели.

Всего дорога — это 1 (или \(\frac{7}{7}\)).

После первой недели отремонтировали \(\frac{3}{7}\).

Осталось отремонтировать:

\[ 1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \]

Шаг 2: Найдем, сколько километров отремонтировали за вторую неделю.

За вторую неделю отремонтировали 40% от остатка. Остаток — это \(\frac{4}{7}\) дороги.

Переведем 40% в дробь:

\[ 40\% = \frac{40}{100} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]

Найдем \(\frac{2}{5}\) от \(\frac{4}{7}\):

\[ \frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{2 \times 4}{5 \times 7} = \frac{8}{35} \]

Значит, за вторую неделю отремонтировали \(\frac{8}{35}\) всей дороги.

Шаг 3: Найдем, какая часть дороги осталась на третью неделю.

Мы знаем, что за третью неделю отремонтировали 14,4 км, и это «остальные».

Найдем, какая часть дороги осталась после первой и второй недели:

Сначала сложим доли, отремонтированные за первую и вторую недели:

\[ \frac{3}{7} + \frac{8}{35} \]

Приведем \(\frac{3}{7}\) к знаменателю 35:

\[ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35} \]

Сложим доли:

\[ \frac{15}{35} + \frac{8}{35} = \frac{15 + 8}{35} = \frac{23}{35} \]

Это доля дороги, отремонтированная за первые две недели. Теперь найдем долю, оставшуюся на третью неделю:

\[ 1 - \frac{23}{35} = \frac{35}{35} - \frac{23}{35} = \frac{12}{35} \]

Итак, \(\frac{12}{35}\) всей дороги составляют 14,4 км.

Шаг 4: Найдем общую длину дороги.

Если \(\frac{12}{35}\) дороги — это 14,4 км, то чтобы найти всю длину дороги, нужно:

\[ \text{Вся дорога} = 14.4 \text{ км} : \frac{12}{35} \]

\[ \text{Вся дорога} = 14.4 \times \frac{35}{12} \]

Можно представить 14,4 как \(\frac{144}{10}\):

\[ \text{Вся дорога} = \frac{144}{10} \times \frac{35}{12} = \frac{144 \times 35}{10 \times 12} \]

Сократим 144 и 12 (144 / 12 = 12), и 35 и 10 (разделим на 5, получим 7 и 2):

\[ \text{Вся дорога} = \frac{12 \times 7}{2 \times 1} = \frac{84}{2} = 42 \text{ км} \]

Шаг 5: Найдем, сколько километров отремонтировали за три недели.

Так как 14,4 км — это то, что осталось и было отремонтировано за третью неделю, а мы уже нашли общую длину дороги, то сумма всех отрезков и есть общая длина.

Проверим: \(42 \text{ км}\).

Чтобы быть уверенными, можем посчитать, сколько км приходится на каждую неделю:

1 неделя: \(\frac{3}{7} \times 42 = 3 \times 6 = 18 \text{ км}\)

2 неделя: \(\frac{8}{35} \times 42 = \frac{8 \times 42}{35} = \frac{8 \times 6}{5} = \frac{48}{5} = 9.6 \text{ км}\)

3 неделя: 14,4 км (по условию).

Сложим: \(18 + 9.6 + 14.4 = 42 \text{ км}\). Все сходится!

Ответ: За три недели отремонтировали 42 километра дороги.