Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 703. Найдите объем конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение:

Метод: Используем формулы площади основания (Q = πr2) и площади боковой поверхности (P = πrl), а также формулу объема конуса (V = \(\frac{1}{3}\)πr2h) и теорему Пифагора (r2 + h2 = l2).

Пошаговое решение:

  • Из площади основания Q = πr2, находим радиус r = \(\sqrt{\frac{Q}{π}}\).
  • Из площади боковой поверхности P = πrl, находим образующую l = \(\frac{P}{πr}\).
  • Подставляем r в выражение для l: l = \(\frac{P}{π⋅√{\frac{Q}{π}}}\) = \(\frac{P}{\sqrt{πQ}}\).
  • Используя теорему Пифагора (r2 + h2 = l2), находим высоту h: h2 = l2 - r2.
  • h2 = (\(\frac{P}{\sqrt{πQ}}\))2 - (\(\sqrt{\frac{Q}{π}}\))2 = \(\frac{P^2}{πQ}\) - \(\frac{Q}{π}\) = \(\frac{P^2 - Q^2}{πQ}\).
  • h = \(\sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{πQ}}\).
  • Теперь подставляем найденные r и h в формулу объема конуса V = \(\frac{1}{3}\)πr2h:
  • V = \(\frac{1}{3}\)π ⋅ \(\frac{Q}{π}\) ⋅ \(\sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{πQ}}\)
    V = \(\frac{1}{3}\)Q ⋅ \(\sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{πQ}}\).

Ответ: V = \(\frac{1}{3}\)Q ⋅ \(\sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{πQ}}\).