707. Площадь полной поверхности конуса равна 45π дм². Развернутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объем конуса.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Угол сектора в развертке боковой поверхности равен 60°, что составляет \(\frac{60°}{360°} = \frac{1}{6}\) часть полного круга.
• Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса: 2πr.
• Длина дуги также равна \(\frac{1}{6}\) длины окружности радиусом, равным образующей конуса (l): \(\frac{1}{6}\) ⋅ 2πl = \(\frac{πl}{3}\).
• Приравниваем: 2πr = \(\frac{πl}{3}\) => 6πr = πl => l = 6r.
• Площадь полной поверхности конуса S_полн = πr² + πrl.
• По условию, S_полн = 45π дм².
• πr² + πr(6r) = 45π
• πr² + 6πr² = 45π
• 7πr² = 45π
• r² = \(\frac{45π}{7π}\) = \(\frac{45}{7}\).
• r = \(\sqrt{\frac{45}{7}}\).
• Теперь найдем высоту конуса h, используя теорему Пифагора: h² = l² - r².
• l = 6r = 6 ⋅ \(\sqrt{\frac{45}{7}}\).
• l² = 36 ⋅ \(\frac{45}{7}\) = \(\frac{1620}{7}\).
• h² = \(\frac{1620}{7}\) - \(\frac{45}{7}\) = \(\frac{1575}{7}\) = 225.
• h = \(\sqrt{225}\) = 15 дм.
• Найдем объем конуса V = \(\frac{1}{3}\)πr²h.
• V = \(\frac{1}{3}\)π ⋅ \(\frac{45}{7}\) ⋅ 15 = \(\frac{1}{3}\) ⋅ \(\frac{675π}{7}\) = \(\frac{225π}{7}\) дм³.

Ответ: \(\frac{225π}{7}\) дм³.