706. Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324π см³. Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Из формулы объема V = \(\frac{1}{3}\)πr²h, найдем радиус основания r.
• 324π = \(\frac{1}{3}\)πr² ⋅ 12
• 324π = 4πr²
• r² = \(\frac{324π}{4π}\) = 81
• r = 9 см.
• Теперь найдем образующую конуса l, используя теорему Пифагора: l² = h² + r².
• l² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225
• l = 15 см.
• Длина окружности основания конуса равна C = 2πr = 2π ⋅ 9 = 18π см.
• Длина дуги сектора в развертке равна длине окружности основания конуса.
• Пусть α — угол сектора в радианах. Длина дуги сектора равна L = l ⋅ α.
• 18π = 15 ⋅ α
• α = \(\frac{18π}{15}\) = \(\frac{6π}{5}\) радиан.
• Чтобы перевести радианную меру в градусы, умножим на \(\frac{180°}{π}\):
• Угол в градусах = \(\frac{6π}{5}\) ⋅ \(\frac{180°}{π}\) = 6 ⋅ 36° = 216°.

Ответ: 216°.