705. Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием 2r и высотой h. Площадь осевого сечения S_о.с. = \(\frac{1}{2}\) ⋅ (2r) ⋅ h = r⋅h.
• По условию, S_о.с. = 60 см², следовательно, r⋅h = 60.
• Образующая конуса l = 13 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом, высотой и образующей: r² + h² = l².
• r² + h² = 13² = 169.
• У нас есть система уравнений:
  1) r⋅h = 60
  2) r² + h² = 169
• Из первого уравнения выразим h: h = \(\frac{60}{r}\).
• Подставим во второе уравнение: r² + (\(\frac{60}{r}\))² = 169.
• r² + \(\frac{3600}{r^2}\) = 169.
• Умножим обе части на r²: r⁴ + 3600 = 169r².
• Перенесем все в одну сторону: r⁴ - 169r² + 3600 = 0.
• Это биквадратное уравнение. Пусть x = r². Тогда x² - 169x + 3600 = 0.
• Найдем дискриминант: D = (-169)² - 4 ⋅ 1 ⋅ 3600 = 28561 - 14400 = 14161.
• \(\( \sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119 \)\).
• Найдем корни: x₁ = \(\frac{169 + 119}{2}\) = \(\frac{288}{2}\) = 144.
  x₂ = \(\frac{169 - 119}{2}\) = \(\frac{50}{2}\) = 25.
• Так как x = r², то:
  r² = 144 => r = 12 см (принимаем положительное значение).
  r² = 25 => r = 5 см.
• Если r = 12 см, то h = \(\frac{60}{12}\) = 5 см. Проверим r² + h² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169. Верно.
• Если r = 5 см, то h = \(\frac{60}{5}\) = 12 см. Проверим r² + h² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Верно.
• В обоих случаях мы получаем пару значений для радиуса и высоты (5 и 12).
• Теперь найдем объем конуса, используя V = \(\frac{1}{3}\)πr²h.
• Случай 1: r = 12 см, h = 5 см.
  V = \(\frac{1}{3}\)π(12)² ⋅ 5 = \(\frac{1}{3}\)π ⋅ 144 ⋅ 5 = 48π ⋅ 5 = 240π см³.
• Случай 2: r = 5 см, h = 12 см.
  V = \(\frac{1}{3}\)π(5)² ⋅ 12 = \(\frac{1}{3}\)π ⋅ 25 ⋅ 12 = π ⋅ 25 ⋅ 4 = 100π см³.

Ответ: 100π см³ или 240π см³.