75. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 10, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону трапеции, если меньшее основание трапеции равно 5√3.

Пусть AD — большее основание, BC — меньшее, BC = 5√3. Обозначим высоту трапеции CD = h. Так как ∠A = 45°, горизонтальная разность оснований равна высоте: AD − BC = h.

В прямоугольном треугольнике BCD диагональ BD = 10, поэтому

\[BC^2 + h^2 = BD^2.\]

\[(5\sqrt3)^2 + h^2 = 10^2,\quad 75+h^2=100,\quad h=5.\]

Большая боковая сторона AB является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами h и AD − BC = h, поэтому

\[AB=h\sqrt2=5\sqrt2.\]

Ответ: 5√2.