765. Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы p=\(\overrightarrow{XY}\)+\(\overrightarrow{ZX}\)+\(\overrightarrow{YZ}\), q=\(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ}\)+\(\overrightarrow{YZ}\) и r=\(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY}\)-\(\overrightarrow{ZX}\) нулевые.

Используем правило треугольника: сумма векторов вдоль замкнутого контура равна нулю.

\(p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZX}=\vec0\).

\(q=\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}=\vec0\), поскольку \(-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZX}\).

\(r=\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{XZ}=\vec0\): это сумма векторов по замкнутому пути Z→Y→X→Z.

Ответ: \(p=q=r=\vec0\).