8.23. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(−2; 6), B(−8; −2), C(0; −8) и D(6; 0) является квадратом.

Найдём квадраты длин сторон:

\(AB^2=(-8+2)^2+(-2-6)^2=100\), \(BC^2=(0+8)^2+(-8+2)^2=100\), \(CD^2=(6-0)^2+(0+8)^2=100\), \(DA^2=(-2-6)^2+(6-0)^2=100\). Значит, все стороны равны.

Проверим перпендикулярность соседних сторон: \(\overrightarrow{AB}=(-6;-8)\), \(\overrightarrow{BC}=(8;-6)\). Их скалярное произведение \((-6)\cdot8+(-8)\cdot(-6)=0\), поэтому \(AB\perp BC\).

Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом.

Ответ: ABCD — квадрат.