8. (26) Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 27 км. Турист прошёл путь из А в В за 8 часов, из которых спуск занял 3 часа. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на 1 км/ч?

Решение:

Пусть \( v_{спуска} \) — скорость туриста на спуске (км/ч), а \( v_{подъёма} \) — скорость туриста на подъёме (км/ч).

Из условия известно:

• Общая длина пути A-B = 27 км.


• Общее время в пути = 8 часов.


• Время спуска = 3 часа.


• Скорость на подъёме меньше скорости на спуске на 1 км/ч, то есть \( v_{подъёма} = v_{спуска} - 1 \).

Время подъёма = Общее время - Время спуска = 8 - 3 = 5 часов.

Пусть \( S_{подъёма} \) — расстояние, которое турист преодолел на подъёме, а \( S_{спуска} \) — расстояние, которое турист преодолел на спуске.

Мы знаем, что \( S_{подъёма} + S_{спуска} = 27 \) км.

Расстояние = Скорость × Время.

\( S_{подъёма} = v_{подъёма} \times 5 = (v_{спуска} - 1) \times 5 \)

\( S_{спуска} = v_{спуска} \times 3 \)

Подставим эти выражения в уравнение общей длины пути:

\[ (v_{спуска} - 1) \times 5 + v_{спуска} \times 3 = 27 \]

Раскроем скобки:

\[ 5v_{спуска} - 5 + 3v_{спуска} = 27 \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ 8v_{спуска} - 5 = 27 \]

\[ 8v_{спуска} = 27 + 5 \]

\[ 8v_{спуска} = 32 \]

\[ v_{спуска} = \frac{32}{8} = 4 \]

Скорость туриста на спуске равна 4 км/ч.

Скорость на подъёме: \( v_{подъёма} = 4 - 1 = 3 \) км/ч.

Проверим расстояния:

\( S_{подъёма} = 3 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 15 \) км.

\( S_{спуска} = 4 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 12 \) км.

Общая длина: \( 15 + 12 = 27 \) км. Всё верно.

Ответ: 4 км/ч