9. (2б).Постройте график функции и определите, при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком ровно две общие точки. y= { 2х + 1, если х < 0. - 1.5х+1, если 0 ≤ x < 2, х-4, если х≥2 }

Решение:

Построим график кусочно-заданной функции.

1. Функция \( y = 2x + 1 \) при \( x < 0 \)

Это луч, исходящий из точки на оси Y. Найдем точку, где луч начинается (при \( x = 0 \), но эта точка не включается): \( y = 2(0) + 1 = 1 \). Координаты начала луча: (0, 1).

Возьмем еще одну точку для \( x < 0 \), например \( x = -1 \): \( y = 2(-1) + 1 = -1 \). Координаты точки: (-1, -1).

2. Функция \( y = -1.5x + 1 \) при \( 0 \le x < 2 \)

Это отрезок. Найдем начальную и конечную точки отрезка.

При \( x = 0 \): \( y = -1.5(0) + 1 = 1 \). Координаты начальной точки: (0, 1). (Эта точка включается).

При \( x = 2 \) (точка не включается): \( y = -1.5(2) + 1 = -3 + 1 = -2 \). Координаты конечной точки: (2, -2).

3. Функция \( y = x - 4 \) при \( x \ge 2 \)

Это луч, начинающийся при \( x = 2 \).

При \( x = 2 \): \( y = 2 - 4 = -2 \). Координаты начала луча: (2, -2). (Эта точка включается).

Возьмем еще одну точку для \( x > 2 \), например \( x = 4 \): \( y = 4 - 4 = 0 \). Координаты точки: (4, 0).

Теперь построим график, используя эти точки.

Теперь рассмотрим прямую \( y = c \). Это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \( c \), при которых эта прямая пересекает график функции ровно в двух точках.

Анализируя график:

• Если \( c = 1 \), прямая \( y = 1 \) пересекает график в точке (0, 1) (где \( y = 2x+1 \) и \( y = -1.5x+1 \) встречаются) и в точке, где \( x-4 = 1 \), т.е. \( x = 5 \). Таким образом, при \( c = 1 \) есть две точки пересечения.


• Если \( c = -2 \), прямая \( y = -2 \) пересекает график в точке (2, -2) (где \( y = -1.5x+1 \) и \( y = x-4 \) встречаются) и в точке, где \( 2x+1 = -2 \), т.е. \( 2x = -3 \), \( x = -1.5 \). Таким образом, при \( c = -2 \) есть две точки пересечения.


• Если \( c > 1 \), прямая пересекает только один луч \( y = 2x+1 \).


• Если \( -2 < c < 1 \), прямая пересекает два луча: \( y = 2x+1 \) и \( y = x-4 \).


• Если \( c < -2 \), прямая пересекает только луч \( y = x-4 \).

Таким образом, две точки пересечения достигаются, когда \( c = 1 \) или \( c = -2 \).

Ответ: c = 1 или c = -2