8) ABC — треугольник. AC = 10, BC = 13, углы A и C равны, K — середина AC. Вектор \(\vec a\) — отрезок BK. Найти \(|\vec a|\).

Так как \(\angle A=\angle C\), то противоположные им стороны равны: \(AB=BC=13\).

Поскольку K — середина AC, \(AK=KC=5\). В равнобедренном треугольнике медиана BK является также высотой, поэтому по теореме Пифагора:

\[BK^2=AB^2-AK^2=13^2-5^2=169-25=144.\]

Следовательно, \(BK=12\).

Ответ: \(|\vec a|=12\).