8. ABCD — трапеция, AD = 30, BC ∥ AD, ∠ABC = 135°, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Найти BC.

1. В прямоугольном треугольнике BCD углы C и D равны 90° и 45°, значит ∠CBD = 45°. Поэтому треугольник BCD равнобедренный прямоугольный и BD = BC√2.
2. ∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = 135° − 45° = 90°.
3. Так как BC ∥ AD, ∠BAD = 180° − ∠ABC = 45°. Следовательно, треугольник ABD — равнобедренный прямоугольный, где AD — гипотенуза. Поэтому BD = 30/√2 = 15√2.
4. Из BD = BC√2 получаем BC = 15√2/√2 = 15.

Ответ: BC = 15.