8. ABCD — трапеция. Найдите основание AD. На рисунке BC = 2 см, AB = 4 см, ∠ABC = 120°, AC ⟂ CD, BC ∥ AD. а) 5 см; б) 7 см; в) 6 см; г) 5√3 см.

Введём координаты: пусть \(A=(0,0)\), а основание \(AD\) лежит на горизонтальной оси. Так как \(AB=4\) см и угол между лучами \(BA\) и \(BC\) равен 120°, направление \(AB\) образует с основанием угол 60°. Поэтому \(B=(2,2\sqrt3)\). Из \(BC=2\) см и параллельности оснований получаем \(C=(4,2\sqrt3)\).

Вектор \(AC=(4,2\sqrt3)\) имеет наклон \(\frac{\sqrt3}{2}\). Поскольку \(CD\perp AC\), наклон \(CD\) равен \(-\frac{2}{\sqrt3}\). Чтобы от точки \(C\) опуститься до основания \(AD\), вертикальная координата должна уменьшиться на \(2\sqrt3\); соответствующее горизонтальное смещение равно 3. Значит, \(D=(7,0)\), и \(AD=7\) см.

Ответ: б) 7 см.