Ответ:

Грамматическая основа: батюшка прочёл, положил и начал.

Это простое предложение с однородными сказуемыми. Между первыми сказуемыми ставится запятая; перед одиночным союзом и запятая не нужна.

Батюшка прочёл письмо, со вниманием положил перед собою на стол и начал своё письмо.