Ответ:
Грамматическая основа: батюшка прочёл, положил и начал.
Это простое предложение с однородными сказуемыми. Между первыми сказуемыми ставится запятая; перед одиночным союзом и запятая не нужна.
Батюшка прочёл письмо, со вниманием положил перед собою на стол и начал своё письмо.
