8. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Проведены диагонали AC и BD; отмечено, что AC делит BD пополам, и ∠BAC = ∠ACD.

Обозначим точку пересечения диагоналей через O. По отметкам BO = OD. Из равенства ∠BAC = ∠ACD следует, что AB ∥ CD.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. Углы ∠ABO и ∠CDO равны как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD; углы ∠AOB и ∠COD равны как вертикальные. Кроме того, BO = OD. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому AO = OC.

Итак, диагонали AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, ABCD — параллелограмм.