8. Докажите неравенство $4x^2-4xy+2y^2+12y+37>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. Докажите неравенство $4x^2-4xy+2y^2+12y+37>0$.$ Фото задания

Accepted Answer

Сгруппируем слагаемые и выделим квадраты:

$4x^2-4xy+2y^2+12y+37=(2x-y)^2+y^2+12y+37$.

Дополним квадрат по переменной $y$:

$y^2+12y+37=(y+6)^2+1$.

Следовательно,

$4x^2-4xy+2y^2+12y+37=(2x-y)^2+(y+6)^2+1$.

Сумма квадратов неотрицательна, поэтому всё выражение не меньше 1:

$(2x-y)^2+(y+6)^2+1\geq1>0$.

Ответ: неравенство доказано для любых действительных $x$ и $y$.

8. Докажите неравенство \(4x^2-4xy+2y^2+12y+37>0\).