8. Из условия \(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{OD}+\vec{x}-\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AO}\) найдите вектор \(\vec{x}\).

Перенесём слагаемые без \(\vec{x}\) в правую часть:

\(\vec{x}=\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{CM}.\)

Заменим каждый вектор разностью радиус-векторов его конца и начала. Сокращая противоположные слагаемые, получаем:

\(\vec{x}=(\vec A-\vec P)-(\vec M-\vec B)+(\vec O-\vec A)-(\vec B-\vec P)+(\vec D-\vec O)+(\vec M-\vec C)=\vec C-\vec D.\)

Ответ: \(\vec{x}=\overrightarrow{DC}\).