8 класс. 1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Обозначим AB = x, AD = y. Расстояние от M до прямой AB равно расстоянию между параллельными прямыми AB и CD, умноженному на долю пути от B до C. Так как BM — биссектриса угла A, равенство расстояний от M до сторон угла A даёт BM = AB, то есть BM = x.

Поскольку BM параллелен AD и лежит на отрезке BC, из условия, что M также лежит на биссектрисе угла D, следует равенство расстояний от M до AD и DC. Оно даёт AD − BM = AB. Следовательно, y − x = x, то есть y = 2x.

Периметр равен 2(x + y) = 36, поэтому x + y = 18. Подставляем y = 2x: 3x = 18, x = 6 см, y = 12 см.

Ответ: стороны параллелограмма — 6 см и 12 см.