8. Найдите неизвестные углы параллелограмма MNKP, если L лежит на MP, KL ⟂ MP, MK = NK, а угол между KP и KL равен 25°.

В прямоугольном треугольнике PLK угол L равен 90°, а угол PKL равен 25°. Поэтому ∠KPL = 180° − 90° − 25° = 65°. Так как P, L и M лежат на одной прямой, внутренний угол параллелограмма P равен 65°.

Соседний угол K равен 180° − 65° = 115°, а противоположные углы равны: ∠M = 65°, ∠N = 115°.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому MP = NK. По условию MK = NK, следовательно, MK = MP. Треугольник MPK равнобедренный с основанием PK, поэтому его углы при P и K равны. Угол при P равен 65°, значит, угол PKM также равен 65°. Он состоит из углов PKL = 25° и LKM, поэтому ∠LKM = 65° − 25° = 40°.

Ответ: ∠P = ∠M = 65°, ∠K = ∠N = 115°; ∠PKL = 25°, ∠LKM = 40°.