8. Найдите значение выражения \( a^3 (a^{-4})^2 \) при \( a = \frac{1}{2} \).

Решение:

Сначала упростим выражение \( a^3 (a^{-4})^2 \), используя свойства степеней:

1. Возведём степень в степень: \( (a^{-4})^2 = a^{-4 \times 2} = a^{-8} \).
2. Теперь выражение имеет вид: \( a^3 · a^{-8} \).
3. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^{3 + (-8)} = a^{3-8} = a^{-5} \).
4. Таким образом, упрощённое выражение равно \( a^{-5} \).
5. Теперь подставим значение \( a = \frac{1}{2} \) в упрощённое выражение: \( \left( \frac{1}{2} \right)^{-5} \).
6. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в положительную степень: \( \left( \frac{2}{1} \right)^5 = 2^5 \).
7. Вычислим результат: \( 2^5 = 2 \u00B7 2 \u00B7 2 \u00B7 2 \u00B7 2 = 32 \).

Ответ: 32.