9. Найдите значение выражения \( a^6 (a^{-2})^4 \) при \( a = \frac{1}{7} \).

Решение:

Сначала упростим выражение \( a^6 (a^{-2})^4 \), используя свойства степеней:

1. Возведём степень в степень: \( (a^{-2})^4 = a^{-2 \times 4} = a^{-8} \).
2. Теперь выражение имеет вид: \( a^6 · a^{-8} \).
3. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^{6 + (-8)} = a^{6-8} = a^{-2} \).
4. Таким образом, упрощённое выражение равно \( a^{-2} \).
5. Теперь подставим значение \( a = \frac{1}{7} \) в упрощённое выражение: \( \left( \frac{1}{7} \right)^{-2} \).
6. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в положительную степень: \( \left( \frac{7}{1} \right)^2 = 7^2 \).
7. Вычислим результат: \( 7^2 = 7 \u00B7 7 = 49 \).

Ответ: 49.