8. Найдите значение выражения \(\frac{5\sin 158^\circ}{\sin 79^\circ \cdot \sin 111^\circ}\).

Используем тождества \(\sin 158^\circ = \sin(2 \cdot 79^\circ) = 2\sin 79^\circ\cos 79^\circ\) и \(\sin 111^\circ = \sin(90^\circ + 21^\circ) = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ\). Также \(\cos 79^\circ = \sin 11^\circ\), а \(\sin 69^\circ = \cos 21^\circ\) — эти выражения не совпадают; удобнее заметить, что \(\sin 111^\circ = \sin(180^\circ - 111^\circ)=\sin 69^\circ\), и \(\sin 69^\circ=\cos 21^\circ\). В данном выражении знаменатель содержит \(\sin 79^\circ\sin 111^\circ\), поэтому сокращения с \(\sin 11^\circ\) нет. Вычислим через формулы: выражение равно \(\frac{10\sin 79^\circ\cos 79^\circ}{\sin79^\circ\sin111^\circ}=\frac{10\cos79^\circ}{\sin111^\circ}=\frac{10\sin11^\circ}{\sin69^\circ}\).

Ответ: \(\frac{10\sin 11^\circ}{\sin 69^\circ}\) (примерно 2,01).